Oleh: Kutha Ardana, MathIPB

Demikian populernya konstanta pi (π), sampai-sampai ia dirayakan dua kali setahun. Pertama, Pi Day yang jatuh pada bulan Maret tanggal 14 (pi = 3.14…).  Berikutnya, Pi Approximation Day, yang jatuh setiap tanggal 22/7.  Seperti diketahui, pi adalah bilangan irasional (tak dapat dinyatakan sebagai pecahan, digit desimalnya tak berulang). Pecahan 22/7 adalah pendekatan pi dalam bentuk pecahan yang paling sederhana, menghasilkan pi tepat sampai 2 desimal.

Bukti bahwa pi bilangan irasional pertama kali ditunjukkan oleh matematikawan Johann Heinrich Lambert pada tahun 1766. Pada tahun 1882, matematikawan asal Munich - Jerman, Ferdinand Lindemann berhasil membuktikan bahwa pi bersifat transendental. Ini berarti pi bukanlah merupakan akar dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat.  Sebagai contoh 9 pi^4 - 240 pi^2 + 1492  ~ -0.023237, tetapi dijamin polinom seperti itu tidak akan pernah bernilai tepat 0.

Ratusan tahun setelah sifat penting pi (irasional dan transendental), saat ini tidak banyak sifat-sifat lainnya yang telah ditunjukkan secara matematis.  Konstanta seperti pi^2, e^pi, pi+log(2)+sqrt(2)log(3) telah berhasil ditunjukkan merupakan bilangan transendental, namun konstanta terkait π lainnya seperti e + pi, e × pi, pi/e, pi^e, log pi masih tetap menjadi misteri apakah berupa bilangan rasional ataukah irasional.  Perkembangan paling signifikan dalam kaitan mengungkap misteri di balik pi hanyalah dari sisi komputasi numerik.  Saat ini, rekor dunia desimal pi telah menembus angka 5 triliun  (http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html).

Banyak teknik pendekatan terhadap pi (lihat misalnya buku Pi Unleashed).  Salah satunya adalah dengan menggunakan pendekatan bilangan rasional.  Misalkan pi(d) menyatakan pendekatan rasional pi tepat sampai d desimal.  Contoh 22/7 = 3.14286… = pi(2) karena tepat menduga pi  hingga dua desimal.  Pelopor pendekatan ini tak lain adalah Archimedes (250 SM). Dengan menggunakan poligon, ia menemukan bahwa pi(2) = 223/71 < pi < 22/7 = pi(2).  Tsu Chhung Chih (480 M) dari China menemukan pi(6) = 355/113.  Metode yang dapat digunakan untuk mencari pendekatan pi dengan bilangan rasional adalah metode pecahan berulang. Dalam kaitan ini, Mathematica menyediakan perintah seperti Rationalize, ContinuedFraction, Convergents.

Berikut 5 suku pecahan pertama yang konvergen ke pi

Convergents[Pi, 5] -> {3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102}

Jika diperhatikan, pi(2) = 22/7, pi(6) = 355/113, ...  Adakah suatu pola menarik? Ada!  Banyaknya digit pembilang dan penyebut hampir sama dengan banyaknya desimal ketepatan pendekatan, d. Misalnya pi(6) = 355/113 tepat sampai 6 desimal dan merupakan pecahan dengan 6 digit.

Banyak konjektur yang bisa dibuat dari eksperimen komputasi pi.  Siapa tahu, suatu saat Andalah yang tercatat sebagai orang yang dapat membuktikan satu di antara konjektur itu.  Happy Pi Apporximation Day…

Kutha Ardana – MathIPB, Pi Approximation Day, 22/7/2011